Plus grand commun diviseur de nombres entiers

Le PGCD de nombres entiers différents de zéro est, parmi les diviseurs communs à ces entiers, le plus grand d’entre eux. PGCD signifie plus grand commun diviseur.

Par exemple, les diviseurs positifs de 30 sont, dans l’ordre : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Les diviseurs communs de 30 et 18 étant 1, 2, 3 et 6, leur PGCD est 6. Ce qui se note : PGCD(30 ; 18) = 6.

Les diviseurs communs à plusieurs entiers sont les diviseurs de leur PGCD. Connaître le PGCD de deux nombres entiers non nuls a et b permet de simplifier la fraction ab. Il est possible de le déterminer par divers raisonnements, dont l’algorithme d’Euclide.

Le PGCD de deux nombres entiers a et b est généralement noté PGCD(a ; b) ou pgcd(a ; b). On trouve parfois l’acronyme équivalent PGDC, mais PGCD est la version officielle.

En considérant que tout nombre entier est un diviseur de zéro (car 0 × b = 0 quel que soit b) il vient que, pour tout entier non nul b, PGCD(0 ; b) = PGCD(b ; 0) = b.

La définition usuelle ne permet pas de définir PGCD(0 ; 0) puisqu’il n’existe pas de plus grand diviseur de 0. On pose par convention : PGCD(0 ; 0) = 0.

PGCD(a ; b) est parfois noté ab. Cette notation fait référence aux ensembles ordonnés : tout diviseur commun à a et b divise leur PGCD.

Les anglophones le nomment greatest common divisor, noté gcd(a, b), ou highest common factor, noté hcf(a, b).

Le PGCD peut être défini pour des nombres entiers naturels ou relatifs. Mais tout diviseur d’un nombre entier est également diviseur de son opposé. Les calculs et démonstrations sur le PGCD s’effectuent donc en général sur des nombres entiers positifs, l’extension aux négatifs étant immédiate.

Soient a, b, c trois entiers non nuls.

Toute suite de Lucas xn = Un(P, Q) associée à des paramètres P, Q premiers entre eux vérifie :





pgcd






(



x



m




,



x



n




)


=



x



pgcd






(


m


,


n


)




.




{\displaystyle \operatorname {pgcd} (x_{m},x_{n})=x_{\operatorname {pgcd} (m,n)}.}


La démonstration est la même que dans le cas particulier de la suite de Fibonacci.

A priori, il faut connaître la liste des diviseurs communs de deux nombres pour pouvoir déterminer le PGCD. Mais l’inverse est également vrai. En effet, les diviseurs communs de deux nombres entiers sont exactement les diviseurs de leur PGCD. Par exemple, si le PGCD de deux nombres entiers a et b est 6, les diviseurs communs à a et b seront ceux de 6, soit : 1 ; 2 ; 3 ; 6 et leurs opposés.

La réciproque est en partie vraie : le seul nombre positif D qui vérifie les deux propriétés :

est le PGCD de a et b.

Ces deux phrases sont parfois prises comme définition du PGCD, ce qui permet d’étendre à d’autres ensembles que celui des nombres entiers (voir l’article PGCD). Mais si on ôte l’adjectif positif, un autre nombre entier vérifie cette propriété : l’opposé du PGCD de a et b. Par exemple, deux nombres D vérifient

sont 6 et -6.

Ceci montre que, si b est un diviseur de a, alors le PGCD de a et b est b.

Le PGCD de deux nombres entiers positifs a et b est lié avec leur PPCM (le plus petit de leurs multiples communs), par la relation

Le PGCD est en partie compatible avec la multiplication :

Mais il ne l’est pas avec l’addition. Par exemple, PGCD(9;12) = 3 mais, en ajoutant 2, PGCD(11;14) = 1, alors qu’en multipliant par 3 on obtient PGCD(27;36) = 9.

Cependant, il est possible de remplacer l’un de deux nombres a ou b par a+b sans changer le PGCD. Plus généralement, on peut ajouter ou retrancher à l’un des deux un multiple de l’autre. Plus formellement :

Théorème — Soient a, b, v trois entiers, alors PGCD(a;b)=PGCD(a+bv;b).

Cette propriété justifie l’algorithme d’Euclide, une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres (voir plus bas).

Par contre, une combinaison linéaire quelconque de a et b (c’est-à-dire un nombre de la forme au+bv, où u et v sont des entiers) n’est pas forcément égale à PGCD(a;b), mais en est un multiple. Et, réciproquement, un nombre entier c peut s’écrire sous la forme au+bv si et seulement si c est un multiple de PGCD(a;b).

Des nombres entiers sont dits premiers entre eux lorsqu’ils n’ont « rien en commun » du point de vue de la divisibilité, autrement dit, leur PGCD est égal à 1.

Si deux nombres entiers a et b ont pour PGCD le nombre d, alors les entiers a/d et b/d sont premiers entre eux.

Une erreur classique consiste à croire que, si un nombre entier c divise un produit d’entier ab, alors il divise a ou b. Il n’en est rien, comme le montre l’exemple de 6, qui divise 9×8=72, mais ne divise ni 9 ni 8. Mais cela devient vrai si on ajoute l’hypothèse que c est premier avec l’un des deux nombres a ou b. Ce résultat est connu sous le nom de Théorème de Gauss et s’énonce ainsi :

Théorème de Gauss — Soient a, b et c trois nombres entiers tels que c divise ab et c est premier avec a. Alors c divise b.

Un entier n s’écrit de manière unique à l’ordre près des facteurs et au signe près comme un produit fini de nombres premiers. Le nombre de fois que l’entier premier p apparait dans cette écriture s’appelle la valuation p-adique de n, notée vp(n). Un entier m divise un entier n si et seulement si pour tout p, vp(m) ≤ vp(n).

De fait, le pgcd d’une famille (ai) est donné par :

où le produit porte sur l’ensemble des nombres premiers (presque tous les termes du produit, hormis une quantité finie, sont égaux à 1).

Tout diviseur commun à une famille d’entiers non tous nuls divise leur pgcd. Ce constat résulte immédiatement de l’écriture ci-dessus en produit de nombres premiers mais peut aussi se déduire de l’algorithme d’Euclide ou ses variantes :

Il suffit de montrer que tout diviseur commun à deux entiers naturels non tous deux nuls ba divise leur PGCD. Soit c ≥ 1 ; en supposant que la propriété est vraie pour tous les couples (a, b) tels que a + b < c, elle l’est encore pour ceux tels que a + b = c : c’est « trivial » si b = 0, et cela résulte de l’hypothèse de récurrence si b > 0, car les diviseurs communs à a et b (dont le plus grand) sont les mêmes que ceux communs à a – b et b.

Une fraction irréductible est une fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont les plus proches possibles de 1. Cela revient à dire que le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. La fraction irréductible égale à une fraction ab donnée est celle dont le numérateur est







a


d






{\displaystyle {\frac {a}{d}}}


et le dénominateur







b


d






{\displaystyle {\frac {b}{d}}}


, où d = PGCD(a;b).

En sachant que PGCD(30;18)=6, puis en remarquant que







30


6




=


5




{\displaystyle {\frac {30}{6}}=5}


et







18


6




=


3




{\displaystyle {\frac {18}{6}}=3}


, on déduit que







30


18




=




5


3






{\displaystyle {\frac {30}{18}}={\frac {5}{3}}}


, cette dernière fraction étant irréductible.

Certaines équations diophantiennes (c’est-à-dire des équations dont les paramètres et les solutions cherchées sont des nombres entiers) se résolvent par une division par un PGCD afin de se ramener à une équation équivalente mettant en jeu des nombres premiers entre eux.

Ainsi l’équation diophantienne ax+by = c d’inconnues x et y admet une infinité de solutions si et seulement si c est un multiple du PGCD de a et b. Lorsque c n’est pas un multiple du PGCD de a et b, elle n’admet aucune solution entière. Ces résultats sont une conséquence du théorème de Bachet-Bézout. La méthode classique de résolution d’une telle équation consiste à diviser l’équation par le PGCD de a et b, puis, en s’appuyant sur le théorème de Gauss, résoudre la nouvelle équation obtenue, de la forme a’x+b’y = c’, où a’ et b’ sont premiers entre eux.

Une autre équation diophantienne classique est la recherche des triplets pythagoriciens. Un triplet pythagoricien est la donné de trois nombres entiers x, y et z qui vérifient la relation de Pythagore : x2 + y2 = z2. Cela revient à chercher tous les triangles rectangles dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers. L’étude de cette équation se ramène à la recherche des nombres x, y et z premiers entre eux : si x, y et z sont des solutions de l’équation et que d est leur PGCD, alors x/d, y/d et z/d sont aussi des solutions de l’équation.

Il n’est pas possible de déterminer a priori le nombre de diviseurs d’un nombre quelconque. Le système de codage RSA s’appuie sur la très grande difficulté qu’il y a, même avec un ordinateur très puissant, à trouver les diviseurs de certains nombres.

Le calcul du PGCD est trivial lorsque l’un des nombres est premier (le PGCD est 1) ou lorsque l’un des nombres est multiple de l’autre (le PGCD est le plus petit des deux).

Cette méthode est particulièrement adaptée pour les petits nombres ou les nombres qui ont beaucoup de petits diviseurs (comme 2, 3, 5, 11). En prenant les nombres entiers dans l’ordre, on teste pour chacun s’ils sont diviseurs communs à a et b. C’est-à-dire que l’on trouve un nombre k tel que a = ka′ et b = kb′, alors il suffit de calculer le PGCD de a′ et b′ car on a :






p


g


c


d




(


a


,


b


)



=



p


g


c


d




(


k



a









,


k



b









)



=


k


 



p


g


c


d




(



a









,



b









)



.




{\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(a,b\right)=\mathrm {pgcd} \left(ka^{\prime },kb^{\prime }\right)=k~\mathrm {pgcd} \left(a^{\prime },b^{\prime }\right).}


Exemple : pgcd(60,84). On voit que 60 et 84 sont multiples de 4 donc






p


g


c


d




(


60


,


84


)



=


4


×




p


g


c


d




(


15


,


21


)



.




{\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(60,84\right)=4\times \mathrm {pgcd} \left(15,21\right).}


Ensuite, comme 15 et 21 sont multiples de 3 on a






p


g


c


d




(


15


,


21


)



=


3


×




p


g


c


d




(


5


,


7


)



.




{\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(15,21\right)=3\times \mathrm {pgcd} \left(5,7\right).}


Or,






p


g


c


d




(


5


,


7


)



=


1.




{\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(5,7\right)=1.}


Donc,






p


g


c


d




(


60


,


84


)



=


4


×



3


=


12




{\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(60,84\right)=4\times 3=12}


.

Le PGCD de deux nombres a et b est aussi celui de a et de b – a. Ceci justifie la méthode des soustractions successives.

Cette méthode est particulièrement adaptée pour les nombres grands mais relativement proches. Supposons que a soit plus grand que b, on a :

En effet, pour tout diviseur d de b :

Déterminons le PGCD de 675 et 660. Il est également celui de 660 et





675






660


=


15




{\displaystyle 675-660=15}


. Or, en appliquant les critères de divisibilité par 3 et par 5, on voit que 15 divise 660. Donc PGCD(15;660) = PGCD(675;660) = 15.

L’algorithme d’Euclide utilise la division euclidienne. Étant donnés deux nombres entiers naturels a et b, la division euclidienne de a par b est la recherche des deux nombres q et r tels que&nbsp the best bottles;:

Le nombre r est appelé le reste de cette division.

L’algorithme d’Euclide s’appuie également sur deux propriétés du PGCD :

L’algorithme consiste, pour déterminer le PGCD de deux nombres a et b, à effectuer la division euclidienne de a par b (on trouve alors un reste r1) puis la division euclidienne de b par r1 (on note le reste trouvé r2), puis celle de r1 par r2… Et ainsi de suite. La partie 2. de la définition de la division euclidienne assure que la suite r1, r2… est strictement décroissante et finira par s’annuler. Le PGCD de a et b est le dernier reste non nul de cette suite.

Calculons le PGCD de 1071 et de 1029 à l’aide de l’algorithme d’Euclide.

La division euclidienne de 1071 et 1029 donne :

Donc PGCD(1071;1029) = PGCD(1029;42). On effectue la division euclidienne de 1029 par 42.

Ainsi best running pouch, PGCD(1029;42) = PGCD(42;21). On poursuit l’algorithme :

Cela signifie que 21 divise 42, donc PGCD(42;21) = 21. En « remontant » les égalités de PGCD ci-dessous, il vient :

Donc PGCD(1071;1029) = 21, qui est le dernier reste différent de 0 donné par l’algorithme.

En informatique, l’algorithme d’Euclide peut être programmé de façon récursive, avec une fonction qui s’appelle elle-même. En pseudo langage, si on dispose d’une fonction reste qui renvoie le reste de la division euclidienne d’un nombre par un autre, la fonction PGCD s’écrira :

Tout nombre entier s’écrit de façon unique comme produit de nombres premiers.

La première étape de cette méthode consiste à décomposer a et b en produits de nombres premiers. Il est alors très facile de trouver le PGCD.

Si





a


=



p



1





α




1






×




p



2





α




2






×







×




p



k





α




k








{\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}\times p_{2}^{\alpha _{2}}\times \cdots \times p_{k}^{\alpha _{k}}}


et





b


=



p



1





β




1






×




p



2





β




2






×







×




p



k





β




k








{\displaystyle b=p_{1}^{\beta _{1}}\times p_{2}^{\beta _{2}}\times \cdots \times p_{k}^{\beta _{k}}}


où tous les exposants vérifient






α




i








0




{\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}


et






β




i








0




{\displaystyle \beta _{i}\geq 0}


alors






p


g


c


d




(


a


,


b


)



=



p



1




min



(



α




1




,



β




1




)





×




p



2




min



(



α




2




,



β




2




)





×







×




p



k




min



(



α




k




,



β




k




)







{\displaystyle \mathrm {pgcd} \left(a,b\right)=p_{1}^{\min \left(\alpha _{1},\beta _{1}\right)}\times p_{2}^{\min \left(\alpha _{2},\beta _{2}\right)}\times \cdots \times p_{k}^{\min \left(\alpha _{k},\beta _{k}\right)}}







Exemple : 



1248


=



2



5




×



3


×



13



 et 



264


=



2



3




×



3


×



11



 donc 




p


g


c


d




(


1248


,


264


)



=



2



3




×



3


=


24




{\displaystyle {\text{Exemple : }}1248=2^{5}\times 3\times 13{\text{ et }}264=2^{3}\times 3\times 11{\text{ donc }}\mathrm {pgcd} \left(1248,264\right)=2^{3}\times 3=24}


.

Connaissant les décompositions en facteurs premiers de deux nombres entiers a et b, la décomposition en facteurs premiers de leur PGCD est constituée des mêmes facteurs que ceux de a et b, en prenant pour chaque facteur l’exposant minimal qui apparaît à la fois dans a et b : le plus petit exposant commun à a et b.

Avec les décompositions en facteurs premiers

et

On remarque que les facteurs premiers communs sont 2 et 3. Le nombre 2 apparaît avec les exposant 3 et 4, donc son plus petit exposant commun est 3. Pour 3, le plus petit exposant commun est 1 (puisque





3


=



3



1






{\displaystyle 3=3^{1}}


). Le PGCD de 360 et 48 est donc






2



3




×
<
New Yorkbulls Away KLJESTAN 16 Jerseys

New Yorkbulls Away KLJESTAN 16 Jerseys

BUY NOW

$266.58
$31.99

!– × –>



3



=


24




{\displaystyle 2^{3}\times {3}=24}


.

La notion de PGCD de nombres entiers est traitée en classes de troisième et terminale scientifique (enseignement de spécialité mathématiques) en France. Par conséquent, les manuels scolaires de ces classes peuvent être consultés pour étudier ce sujet.

Badshah

Aditya Prateek Singh Sisodia, better known by his stage name Badshah, is an Indian rapper known for his Hindi, Haryanvi, and Punjabi songs. He started his career in 2006 alongside Yo Yo Honey Singh in his group Mafia Mundeer and gained spontaneous popularity among youth. He stopped working with Honey in 2012. His music has been featured in Bollywood soundtracks for films such as the 2014 film Humpty Sharma Ki Dulhania. and Sonam Kapoor starrer Khoobsurat (2014). He has also collaborated with artists such as Gippy Grewal, Diljeet Dosanjh, Manj Musik

New Yorkbulls Away KLJESTAN 16 Jerseys

New Yorkbulls Away KLJESTAN 16 Jerseys

BUY NOW

$266.58
$31.99

, Raftaar (singer), Navv Inder and Aastha Gill among others. His debut single, “DJ Waley Babu” featuring Aastha Gill, was ranked number one on Indian i-tunes charts within 24 hours of the release 32 ounce insulated water bottle. The song also crossed a million views on Youtube within 30 hours. In 2016, he collaborated with Nav Inder on Wakhra Swag which won the 2016 Punjabi Music Awards for best duo/group and most popular song of the year award.

Badshah was born as Aditya Prateek Singh Sisodia in Delhi the best water bottles. His father is from Haryana and his mother is Punjabi. He did his schooling from Bal Bharati Public School, Pitampura, Delhi where he used to perform on his school choir. Prior to becoming a full-time musician he received education to become a civil engineer from PEC University of Technology, Chandigarh during which he was exposed to new Punjabi music which promoted him to take on rap writing. He has stated that if he had not become a rapper, he would “have been an IAS officer”.

Le campane d’argento

Le campane d’argento film televisivo del 2005 diretto da Dick Lowry e tratto dall’omonimo romanzo di Luanne Rice.

Ogni anno il vedovo Christy Byrne si reca dalla Nuova Scozia a New York con i figli per vendere alberi di Natale. Suo figlio Danny non è interessato all’attività di famiglia perché grande appassionato di fotografia. Un anno heart necklace, mentre si trovano a New York, Danny ha una discussione col padre e fugge, lasciando Christy e la figlia Bridget soli. L’anno seguente, Christy e Bridget tornano nuovamente a New York per vendere alberi e nella speranza di avere qualche notizia di Danny

New Yorkbulls Away KLJESTAN 16 Jerseys

New Yorkbulls Away KLJESTAN 16 Jerseys

BUY NOW

$266.58
$31.99

, del quale non si hanno più notizie dal giorno della sua fuga.

Catherine O’Mara, una giovane donna newyorkese che non festeggia più il Natale dalla morte del marito e alla quale ogni anno Christy ha tentato di vendere un albero, si prende cura di Danny e lo paga per scattare delle fotografie da mettere sui giornali. Quando Christy torna a New York, Catherine non gli dice nulla di Danny perché ha promesso al ragazzo di non dire a nessuno dove lui si trovi. Ma quando Danny è vittima di un incidente, Catherine racconta tutto a Christy. All’ospedale, Christy fa la pace con Danny e gli comunica che può restare a New York e diventare un fotografo.

Vazeilles-près-Saugues

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?). Le bandeau {{ébauche}} peut être enlevé et l’article évalué comme étant au stade «&nbsp Runner Waist;Bon début » quand il comporte assez de renseignements encyclopédiques concernant la commune.
Si vous avez un doute, l’atelier de lecture du projet Communes de France est à votre disposition pour vous aider. Consultez également la page d’aide à la rédaction d’un article de commune.

Géolocalisation sur la carte : France

Géolocalisation sur la carte : France

Vazeilles-près-Saugues est une ancienne commune française située dans le département de la Haute-Loire en région Auvergne-Rhône-Alpes

New Yorkbulls Away KLJESTAN 16 Jerseys

New Yorkbulls Away KLJESTAN 16 Jerseys

BUY NOW

$266.58
$31.99

, devenue, le , une commune déléguée de la commune nouvelle d’Esplantas-Vazeilles.

Sur la commune de Vazeilles près Saugues se trouve la Garde du Fraisse d’une hauteur de 1146 m qui est le point culminant de la commune. Il y a aussi les gorges de la Virlange et de Panis. Les principales ressources et productions du village sont le bois, les céréales, les ovins et les bovins. 90 % de la population de Vazeilles vit du bétail, de l’élevage et de l’agriculture fermière.

Ce village est mentionné au XIIe siècle et il dépendait de la province et du bailliage du Gévaudan en 1789. Ce village contient une architecture pittoresque* torchée. Nous y trouvons les vestiges d’un ancien château qui appartenait à un baron au XVIIIe&nbsp

Real Madrid Club de Fútbol Home BENZEMA 9 Jerseys

Real Madrid Club de Fútbol Home BENZEMA 9 Jerseys

BUY NOW

$266.58
$31.99

;siècle est détruit pendant la Révolution de 1789. De ce château il ne reste que quelques ruines de la muraille dont une porte. Les pierres de la forteresse furent récupérés par les habitants du village pour construire et agrandir les fermes au début du XIXe siècle

Real Madrid Club de Fútbol Away SERGIO RAMOS 4 Jerseys

Real Madrid Club de Fútbol Away SERGIO RAMOS 4 Jerseys

BUY NOW

$266.58
$31.99

. Certaines bâtisses conservent encore sur leur porte d’entrée la date de leur construction. Ces dates se situent dans une branche allant des années 1820 à 1890.

En 2013, la commune comptait 39 habitants. L’évolution du nombre d’habitants est connue à travers les recensements de la population effectués dans la commune depuis 1793. À partir du XXIe siècle, les recensements réels des communes de moins de 10 000 habitants ont lieu tous les cinq ans, contrairement aux autres communes qui ont une enquête par sondage chaque année.

On trouve d’anciennes maisons en linto. Son église date du 15e. Elle est constituée d’un clocher peigne*, de 2 croix et d’un oratoire moderne Notre-Dame. C’est une église typiquement construite en tradition auvergnate. L’ancien four à pain.

Sur les autres projets Wikimedia :